Bài viết này sẽ đi sâu vào việc sử dụng công thức cộng đối với hàm sin và cosin để suy ra công thức tính tan(a + b) theo tana và tanb. Chúng ta sẽ khám phá cách biến đổi các biểu thức lượng giác này một cách logic và chính xác, đảm bảo rằng mọi bước đều tuân thủ các quy tắc toán học và mang lại kết quả hữu ích cho việc giải các bài toán liên quan.
I. Phân tích Bài toán và Công Thức Gốc
Bài toán yêu cầu chúng ta tính tan(a + b) dựa trên tana và tanb, với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa. Để đạt được mục tiêu này, chúng ta cần xuất phát từ định nghĩa của hàm tang và các công thức cộng cho hàm sin và cosin.
1. Xuất phát từ Định nghĩa Hàm Tang
Hàm tang của một góc được định nghĩa là tỷ số giữa sin và cos của góc đó. Do đó, ta có:
tan(a + b) = sin(a + b) / cos(a + b)
2. Áp dụng Công thức Cộng cho Sin và Cos
Để tiếp tục quá trình biến đổi, chúng ta cần áp dụng các công thức cộng cho tử số sin(a + b) và mẫu số cos(a + b):
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
- cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
Thay thế các công thức này vào biểu thức ban đầu của tan(a + b):
tan(a + b) = (sin a cos b + cos a sin b) / (cos a cos b – sin a sin b)
II. Biến đổi để Xuất hiện tan a và tan b
Mục tiêu tiếp theo là biến đổi biểu thức trên sao cho xuất hiện các thành phần tana và tanb. Để làm được điều này, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu của phân số cho cos a cos b. Điều này là khả thi khi cos a ≠ 0 và cos b ≠ 0, điều kiện này đã được cho trong đề bài (“khi các biểu thức đều có nghĩa”).
1. Chia Tử và Mẫu cho cos a cos b
Thực hiện phép chia:
tan(a + b) = [(sin a cos b + cos a sin b) / (cos a cos b)] / [(cos a cos b – sin a sin b) / (cos a cos b)]
2. Rút gọn Biểu thức
Sau khi chia, chúng ta tiến hành rút gọn từng phần của tử và mẫu:
-
Tử số:
- (sin a cos b) / (cos a cos b) = sin a / cos a = tan a
- (cos a sin b) / (cos a cos b) = sin b / cos b = tan b
- Vậy, tử số trở thành: tan a + tan b
-
Mẫu số:
- (cos a cos b) / (cos a cos b) = 1
- (sin a sin b) / (cos a cos b) = (sin a / cos a) (sin b / cos b) = tan a tan b
- Vậy, mẫu số trở thành: 1 – tan a tan b
III. Công thức Cuối cùng
Kết hợp kết quả rút gọn của tử số và mẫu số, chúng ta thu được công thức cuối cùng:
tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a tan b)
Công thức này cho phép chúng ta tính giá trị của tan(a + b) nếu biết giá trị của tana và tanb, miễn là biểu thức 1 – tan a tan b khác 0.
IV. Ví dụ Minh họa
Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của công thức này, chúng ta có thể xem xét một ví dụ:
Giả sử ta cần tính tan(75°). Ta có thể tách 75° thành tổng của hai góc quen thuộc: 75° = 45° + 30°.
Khi đó:
tana = tan(45°) = 1
tanb = tan(30°) = 1/√3
Áp dụng công thức:
tan(75°) = tan(45° + 30°) = (tan 45° + tan 30°) / (1 – tan 45° tan 30°)
tan(75°) = (1 + 1/√3) / (1 – 1 * 1/√3)
tan(75°) = [(√3 + 1)/√3] / [(√3 – 1)/√3]
tan(75°) = (√3 + 1) / (√3 – 1)
tan(75°) = [(√3 + 1)²] / [(√3 – 1)(√3 + 1)]
tan(75°) = (3 + 2√3 + 1) / (3 – 1)
tan(75°) = (4 + 2√3) / 2
tan(75°) = 2 + √3
Ví dụ này minh họa cách công thức tan(a + b) giúp chúng ta tính toán giá trị của các hàm lượng giác cho những góc phức tạp hơn một cách hiệu quả.
